La solution à 21 chiffres au problème vieux de plusieurs décennies suggère que de nombreuses autres solutions existent – Technoguide

Que faites-vous après avoir résolu la réponse à la vie, à l’univers et à tout? Si vous êtes les mathématiciens Drew Sutherland et Andy Booker, vous optez pour le problème le plus difficile.

En 2019, Booker, à l’Université de Bristol, et Sutherland, chercheur principal au MIT, ont été les premiers à trouver la réponse à 42. Le nombre a une signification de la culture pop en tant que réponse fictive à “la question ultime de la vie, l’univers , et tout », comme Douglas Adams l’a écrit dans son roman« Le guide de l’auto-stoppeur de la galaxie ». La question qui engendre 42, du moins dans le roman, est frustrante, hilarante inconnue.

En mathématiques, entièrement par coïncidence, il existe une équation polynomiale pour laquelle la réponse, 42, avait également échappé aux mathématiciens pendant des décennies. L’équation x3 + y3 + z3 = k est connue comme le problème de la somme des cubes. Bien qu’apparemment simple, l’équation devient exponentiellement difficile à résoudre lorsqu’elle est conçue comme une «équation diophantienne» – un problème qui stipule que, pour toute valeur de k, les valeurs de x, y et z doivent être des nombres entiers.

Lorsque l’équation de la somme des cubes est encadrée de cette manière, pour certaines valeurs de k, les solutions entières pour x, y et z peuvent devenir des nombres énormes. L’espace numérique dans lequel les mathématiciens doivent rechercher ces nombres est encore plus grand, ce qui nécessite des calculs complexes et massifs.

Au fil des ans, les mathématiciens ont réussi par divers moyens à résoudre l’équation, soit en trouvant une solution, soit en déterminant qu’une solution ne doit pas exister, pour chaque valeur de k entre 1 et 100 – à l’exception de 42.

En septembre 2019, Booker et Sutherland, exploitant la puissance combinée d’un demi-million d’ordinateurs domestiques dans le monde, ont pour la première fois trouvé une solution à 42. La percée largement rapportée a incité l’équipe à s’attaquer à un problème encore plus difficile, et à certains égards plus. problème universel: trouver la prochaine solution pour 3.

Booker et Sutherland ont maintenant publié les solutions pour 42 et 3, ainsi que plusieurs autres nombres supérieurs à 100, cette semaine dans les actes de la National Academy of Sciences.

Relever le gant

Les deux premières solutions de l’équation x3 + y3 + z3 = 3 pourraient être évidentes pour tout étudiant en algèbre du secondaire, où x, y et z peuvent être 1, 1 et 1, ou 4, 4 et -5. Cependant, trouver une troisième solution a déconcerté les théoriciens des nombres experts pendant des décennies et, en 1953, l’énigme a incité le mathématicien pionnier Louis Mordell à se poser la question: est-il même possible de savoir s’il existe d’autres solutions pour 3?

«C’était un peu comme Mordell lançant le gant», dit Sutherland. “L’intérêt de résoudre cette question n’est pas tant pour la solution particulière, mais pour mieux comprendre à quel point ces équations sont difficiles à résoudre. C’est une référence par rapport à laquelle nous pouvons nous mesurer.”

Au fil des décennies sans nouvelles solutions pour 3, beaucoup ont commencé à croire qu’il n’y en avait pas. Mais peu de temps après avoir trouvé la réponse à 42, la méthode de Booker et Sutherland, en un temps étonnamment court, a trouvé la solution suivante pour 3: 5699368212219623807203 + (−569936821113563493509) 3 + (−472715493453327032) 3 = 3

La découverte était une réponse directe à la question de Mordell: Oui, il est possible de trouver la prochaine solution à 3, et en plus, voici cette solution. Et peut-être plus universellement, la solution, impliquant des nombres gigantesques à 21 chiffres qu’il n’était pas possible de filtrer jusqu’à présent, suggère qu’il existe d’autres solutions, pour 3, et d’autres valeurs de k.

“Il y avait eu de sérieux doutes dans les communautés mathématiques et informatiques, car [Mordell’s question] est très difficile à tester », déclare Sutherland.« Les chiffres deviennent si grands si vite. Vous ne trouverez jamais plus que les premières solutions. Mais ce que je peux dire, c’est qu’ayant trouvé cette solution unique, je suis convaincu qu’il y en a une infinité d’autres. “

La torsion d’une solution

Pour trouver les solutions pour 42 et 3, l’équipe a commencé avec un algorithme existant, ou une torsion de l’équation de la somme des cubes dans une forme qui, selon eux, serait plus gérable à résoudre:

k – z3 = x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)

Cette approche a été proposée pour la première fois par le mathématicien Roger Heath-Brown, qui a supposé qu’il devrait y avoir une infinité de solutions pour chaque k convenable. L’équipe a en outre modifié l’algorithme en représentant x + y comme un paramètre unique, d. Ils ont ensuite réduit l’équation en divisant les deux côtés par d et en ne gardant que le reste – une opération en mathématiques appelée «modulo d» – laissant une représentation simplifiée du problème.

«Vous pouvez maintenant considérer k comme une racine cubique de z, modulo d», explique Sutherland. “Imaginez donc travailler dans un système d’arithmétique où vous ne vous souciez que du reste modulo d, et nous essayons de calculer une racine cubique de k.”

Avec cette version plus élégante de l’équation, les chercheurs n’auraient qu’à rechercher les valeurs de d et z qui garantiraient la recherche des solutions ultimes à x, y et z, pour k = 3. Mais encore, l’espace des nombres qu’ils auraient à parcourir serait infiniment grand.

Ainsi, les chercheurs ont optimisé l’algorithme en utilisant des techniques mathématiques de “tamisage” pour réduire considérablement l’espace des solutions possibles pour d.

«Cela implique une théorie des nombres assez avancée, utilisant la structure de ce que nous savons sur les champs de nombres pour éviter de chercher dans des endroits que nous n’avons pas besoin de regarder», dit Sutherland.

Une tâche globale

L’équipe a également développé des moyens de diviser efficacement la recherche de l’algorithme en centaines de milliers de flux de traitement parallèles. Si l’algorithme avait été exécuté sur un seul ordinateur, il aurait fallu des centaines d’années pour trouver une solution à k = 3. En divisant le travail en millions de tâches plus petites, chacune exécutée indépendamment sur un ordinateur distinct, l’équipe pourrait encore accélérer sa recherche.

En septembre 2019, les chercheurs ont mis leur plan en jeu via Charity Engine, un projet qui peut être téléchargé en tant qu’application gratuite sur n’importe quel ordinateur personnel, et qui est conçu pour exploiter toute la puissance de calcul domestique disponible pour résoudre collectivement des problèmes mathématiques difficiles. À l’époque, le réseau de Charity Engine comprenait plus de 400 000 ordinateurs à travers le monde, et Booker et Sutherland ont pu exécuter leur algorithme sur le réseau pour tester la nouvelle plate-forme logicielle de Charity Engine.

«Pour chaque ordinateur du réseau, leur dit-on,« votre travail consiste à rechercher des d dont le facteur premier se situe dans cette plage, sous réserve de certaines autres conditions »», explique Sutherland. “Et nous avons dû trouver comment diviser le travail en environ 4 millions de tâches qui prendraient chacune environ trois heures à un ordinateur.”

Très rapidement, la grille globale a renvoyé la toute première solution à k = 42, et à peine deux semaines plus tard, les chercheurs ont confirmé avoir trouvé la troisième solution pour k = 3 – un jalon qu’ils ont marqué, en partie, en imprimant l’équation sur des t-shirts.

Le fait qu’il existe une troisième solution à k = 3 suggère que la conjecture originale de Heath-Brown était juste et qu’il y a infiniment plus de solutions au-delà de la plus récente. Heath-Brown prédit également que l’espace entre les solutions augmentera de manière exponentielle, parallèlement à leurs recherches. Par exemple, plutôt que les valeurs à 21 chiffres de la troisième solution, la quatrième solution pour x, y et z impliquera probablement des nombres avec 28 chiffres époustouflants.

«La quantité de travail que vous avez à faire pour chaque nouvelle solution augmente d’un facteur de plus de 10 millions, donc la prochaine solution pour 3 nécessitera 10 millions de fois 400 000 ordinateurs pour être trouvée, et il n’y a aucune garantie que ce soit encore suffisant», déclare Sutherland . “Je ne sais pas si nous connaîtrons un jour la quatrième solution. Mais je crois que c’est là-bas.”

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